Follow by Email

Kamis, 06 Oktober 2011


Bilangan



Dalam bidang Matematika, bilangan dapat diklasifikasikan atau digolongkan ke dalam beberapa jenis atau kelompok: bilangan kompleks numbers, bilangan imajiner, bilangan riil, bilangan rasional, bilangan irasional, bilangan bulat, bilangan asli, dan bilangan cacah.
Bilangan Asli dan Bilangan Cacah ()
Ada dua definisi bilangan asli:
  • elemen dari himpunan { 1, 2, 3, 4, ... }
  • elemen dari himpunan { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Definisi yang pertama tidak memasukkan 0 (nol), sedangkan definisi yang kedua memasukkan 0 (nol). Definisi yang kedua (yang memasukkan 0) dapat juga disebut bilangan cacah. Sayangnya, tidak ada kesepakatan yang disetujui oleh semua ahli matematika sampai sekarang. Untuk lebih jelas gunakanlah istilah bilangan bulat positif (tidak termasuk 0) dan bilangan bulat yang tidak negatif (termasuk 0). Contoh: 1, 2, 4, 7, dst.
Bilangan bulat ()
Bilangan yang dapat ditulis tanpa menggunakan pecahan atau dalam bentuk desimal. Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol.  = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }. Bilangan bulat dilambangkan dengan simbol  yang berasal dari bahasa Jerman: Zahlen (yang berarti "bilangan"). Contoh: -12, -3, 0, 4, 5, dst.
Bilangan Rasional ()
Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan. Dilambangkan dengan simbol  dari kata bahasa Inggris quotient yang berarti "hasil bagi". Contoh: -23, -3,5, 0, 2, 2¾, 4.7, dst.
Bilangan Irasional
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan. Contoh: √2, √3, π, e, dst.
Bilangan Riil ()
Bilangan yang memiliki korespondensi satu-satu dengan titik-titik yang terletak pada garis bilangan tak terbatas. Himpunan bilangan riil terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional. Dengan kata lain, bilangan riil adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Contoh: √2, -3,4, 1, dst.
Bilangan Imajiner
Bilangan yang kuadratnya adalah bilangan riil negatif. Bilangan imajiner dituliskan dengan simbol i, dimana i = √-1. Contoh : 2i, -4i, 5i, dst.
Bilangan Kompleks ()
Bilangan yang berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i adalah unit imajiner (i = √-1). Contoh: 2 + 3i.

Bilangan prima adalah bilangan bulat positive yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya, 7 adalah bilangan prima karena faktor-faktor dari 7 adalah 1 dan 7.

Trivia

Bilangan prima terbesar yang diketahui sampai saat ini adalah243,112,609 − 1.
Bilangan prima ini ditemukan pada tanggal 23 Agustus 2008 dan mempunyai 12,978,189 angka.
Bilangan-bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan seterusnya. Perhatikan bahwa 1 bukan merupakan bilangan prima karena ia hanya mempunyai satu faktor.
Anda dapat mengecek apakah sebuah bilangan merupakan bilangan prima dengan memasukkan bilangan tersebut di bawah ini. Jika satu-satunya faktor prima dari bilangan tersebut adalah bilangan itu sendiri, maka ia adalah bilangan prima.
Faktor prima adalah faktor-faktor dari bilangan bulat yang merupakan bilangan prima. Faktor prima dapat digunakan untuk mencari dua atau lebih bilangan bulat

Bagaimana mencari faktor persekutuan terbesar (FPB)

Ada beberapa cara / metode untuk menemukan faktor persekutuan terbesar. Di bawah ini adalah beberapa di antara

Sebagai contoh, marilah kita cari FPB dari 24 dan 60.

Mencari faktor prima
Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama, carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan. Cek halaman tentang faktor prima untuk belajar mencari faktor prima dari sebuah bilangan bulat.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Lalu, kita cari faktor prima persekutuan dari kedua bilangan tersebut.
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Faktor prima persekutuannya adalah 2, 2, dan 3. Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan 60 adalah hasil perkalian dari faktor prima persekutuan, yaitu 2 × 2 × 3 = 12.

Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
224 60
12 30
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan prima yang dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan.
224 60
212 30
36  15
2  5
FPBnya adalah 2 × 2 × 3 = 12.

Algoritma Euclid
Algoritma ini mencari FPB dengan cara melakukan pembagian berulang-ulang dimulai dari kedua bilangan yang hendak kita cari FPBnya sampai kita mendapatkan sisa 0 dari hasil pembagian.
Misalnya untuk contoh kita di atas, 24 dan 60, langkah-langkah yang diambil untuk mencari FPB dengan Algoritma Euclid adalah sebagai berikut.
  • Bagilah bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil. Dalam contoh ini, kita bagi 60 dengan 24 dan hasilnya adalah 2 dengan sisa 12.
  • Lalu kita bagi bilangan yang lebih kecil (yaitu 24) dengan sisa dari pembagian sebelumnya (yaitu 12). Jadi 24 dibagi 12, kita dapatkan hasilnya 2 dan sisanya 0.
  • Karena kita sudah mendapat sisa 0, bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah FPBnya, yaitu 12.
Marilah kita lihat contoh yang lain, cari FPB dari 40 dan 64.
  • 64 ÷ 40 = 1 dengan sisa 24
  • 40 ÷ 24 = 1 dengan sisa 16
  • 24 ÷ 16 = 1 dengan sisa 8
  • 16 ÷ 8 = 2 dengan sisa 0.
    Kita berhenti di sini sebab kita sudah mendapat sisa 0. Bilangan terakhir yang kita gunakan untuk membagi adalah 8, jadi FPB dari 40 dan 64 adalah 8

Bagaimana mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil

Beberapa cara / metode untuk mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) adalah sebagai berikut :
Mencari faktor prima
Pembagian dengan bilangan prima
rumus
Sebagai contoh, marilah kita cari FPB dari 24 dan 60.

Mencari faktor prima
Untuk menggunakan metode ini, pertama-tama carilah dulu faktor-faktor prima dari masing-masing bilangan dan tulislah dengan notasi indeks. Cek halaman tentang faktor prima untuk belajar mencari faktor prima dari sebuah bilangan bulat.
24 = 23 × 3
60 = 22 × 3 × 5
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari kedua bilangan di atas adalah hasil perkalian setiap faktor prima yang memiliki pangkat terbesar. Jadi untuk contoh di atas, KPKnya adalah 23 × 3 × 5 = 120.

Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
224 60
12 30
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua bilangan prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.
224 60
212 30
36  15
2  5
KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.

Rumus
Jika kita tahu FPB dari bilangan bulat a dan b, kita dapat menghitung KPKnya dengan menggunakan rumus berikut ini.
KPK(a,b) =a × b
FPB(a,b)

Masih dengan contoh yang sama seperti di atas, kita dapat mencari KPK dari 24 dan 60 sebagai berikut.
KPK(24,60) =24 × 60= 120
12
Tentu saja kita juga dapat menggunakan rumus ini untuk mencari FPB dari dua bilangan bulat jika kita sudah tahu KPKnya.